Original: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html

Анна-Марі Оресковіч і Дмитро Сагаловський

Останній семестр, математичний клуб мав честь взяти інтерв’ю у професора Гарвардського університету і недавніх Fields медаліста Curtis McMullen. Під час годинного інтерв’ю, професор McMullen обговорював його фон, його дослідження, його досвід в різних університетах по всій країні, а також медаллю Філдса. Математики клуб хотів би подякувати професора McMullen знайшли час, щоб повідомити нам краще пізнати його. Щоб дізнатися більше про професора McMullen дивіться його сайт в http://math.harvard.edu/~ctm

Питання: Як довго ви були в Гарварді?

М: Через рік-півтора, якщо не брати до уваги моїх аспірантом днів.

Питання: Значить, ви були аспірантом тут?

M: Вірно.

Питання: А де ви були бакалаврату?

М: Я був в Williams College в Західному Массачусетсі, а потім я провів рік в Кембриджі, Англія.

Q: Де ти?

M: Це свого роду складне питання. Я в основному виріс в Шарлотт, штат Вермонт, але я був насправді народився в Берклі, штат Каліфорнія. Ми переїхали навколо трохи, але я думаю про себе як від штату Вермонт.

Питання: Так могли б ви розповісти нам трохи про медалі?

М: Я вважаю, що це почалося в 1930-х роках. Вона була створена канадською, поля, і я знаю, що Альфорс і Дуглас було дано перші два. Це дало кожні чотири роки в МКД, а в останні роки вони давали його до трьох або чотирьох осіб. Отже, давайте подивимося, хто ще отримав його в цьому році? Концевич, Гауерс і Борчердс. Насправді всі вони за винятком Гауерс провели час в Берклі, де я був протягом останніх семи років, перш ніж я прийшов сюди. Так що я знав, як Борчердс і Концевич з Берклі.

Питання: Де ви були, коли ви дізналися?

М: Я був тут. Ви дізнаєтеся кілька місяців вперед, і це, як передбачається, які повинні зберігатися в секреті до фактичного дня церемонії. Так що насправді я нікому не сказав, що було досить важко, тому що були чутки, і я постійно повинен бути заперечувати їх.

Питання: Чи можете ви розповісти нам трохи про те, що ваше дослідження було на що дав тобі медаль?

М: Дозвольте мені почати з напрямком моїх досліджень. По-перше, я написав свою дисертацію в Гарварді, але я не працював з професором Гарвардського університету. Я робив деякі роботи на комп’ютері з Девідом Mumford на клейнових груп, перш ніж я закінчив, і я зацікавився цією темою. Але я насправді в кінцевому підсумку написання мою тезу з Деннісом Салливаном, який в той час був професором в Університеті Сіті в Нью-Йорку і IHES в Франції. Так що мені дуже пощастило, що Мамфорд познайомив мене з ним в останній рік моєї кар’єри випускника, в який момент у мене не було радника і не дипломну тему. І я вирушив до Франції і працював з Салливаном в IHES протягом семестру, і я зустрів Стіва Смейла там, який дав мені цю хорошу проблему дисертацію на вирішенні поліноміальних рівнянь методом ітерацій.

Ви, напевно, чули про метод Ньютона для вирішення поліномів. Якщо застосувати метод Ньютона для кубічного поліному, він може не працювати. Ви можете застрягти під локальним мінімумом. І якщо ви зміните початкове наближення трохи, може все-таки не сходиться до кореня. Таким чином, метод Ньютона не є надійним для вирішення поліноміальних рівнянь. Проблема, яку я працював, була якась алгоритм, як метод Ньютона, включаючи ітерації тільки однієї раціональної функції, яка може надійно вирішувати поліноміальні рівняння. Я був в змозі довести, відповідь немає для ступеня 4 або більше, і насправді я знайшов новий алгоритм вирішення, який кубик є надійним.

Тоді я пішов в MSRI і був в MIT протягом семестру, а потім Прінстон протягом чотирьох років. Пітер Дойл і я працював в Прінстоні на вирішенні рівнянь п’ятого ступеня, і ми знайшли цей прекрасний несподіваний алгоритм вирішення Quintic полиномов. Але це не суперечить моєму тези, тому що це вежа ітерацій; тобто, ви перебирає одну раціональну функцію, взяти річ, до якої він сходиться, і підключити, що в інший.

Як ви знаєте, рішення квінтіку пов’язаний з групою Галуа A5, а також той факт, що A5 проста група. Це було використано Галуа довести, що ви не можете вирішити квінтікі рівняння радикалами.

Виявляється, щоб бути в змозі вирішити рівняння, використовуючи ітерованих раціональне відображення, що ви повинні зробити, це знайти раціональне відображення, група симетрії є група Галуа многочлена. Тепер є тільки невеликий набір груп, які можуть бути групи симетрії на сфері Рімана, і цікаві з них походять з Платонових тіл. Таким чином, A5, група симетрії додекаедру, є найбільш складним з них ви можете отримати. Ми використовували цю карту з раціональної A5 симетрії, щоб дати новий алгоритм для вирішення квінтікі рівняння надійно. І до того ж, так як S6 або A6 не працює на сфері Рімана, не існує жодного подібного алгоритму для вирішення рівнянь ступеня 6 або більше. Отже, це була моя перша область досліджень: рішення полиномов, і динаміка раціональних відображень. посилання

Тепер, наступна річ, яку я працював, коли я був в Прінстоні була теорія Терстона гіперболічних 3-різноманіть. Thurston має науково-дослідницьку програму, яка була дуже успішною, щоб спробувати знайти канонічну геометрію для тривимірних об’єктів. Наприклад, якщо уявити, у вас є якийсь різноманіття, тобто таємно 3-сфера, якщо ви могли б якимось чином знайти круглу метрику на ньому, то ви б раптом визнати його в якості 3-сфері. Так що якщо ви можете знайти метрику, яка дає різноманіття хорошу форму, то ви можете визнати, що різноманіття. Виявляється, що більшість тривимірні різноманіття допускають ці метрики, але метрики НЕ позитивно вигнуті, як 3-сфері, вони негативно зігнутим. Наприклад, якщо взяти за межі вузла в S3, сучка доповнення, то він майже завжди допускає одну з цих так званих гіперболічних метрик постійної негативної кривизни. Через це, в даний час існує комп’ютерні програми, де ви можете просто намалювати вузол випадковим чином за допомогою миші, а потім натисніть кнопку, і протягом одного або двох секунд, він скаже вам точно, що це вузол. І якщо ви даєте йому два вузла, він відразу ж визнають вони чи ні той же вузол. Це дивно, тому що проблема класифікації вузлів була класично надзвичайно важко вирішити.

У той час як в Прінстоні, я знайшов нове, аналітичний доказ теореми Терстона, яка забезпечує гіперболічних структур на багатьох 3-різноманіть, в тому числі більшість вузлів комплементов. Це новий доказ пов’язано з рядом Пуанкаре, класичної темі в комплексному аналізі, і це також призводить до вирішення гіпотезам Кра і Берсі. Пізніше в Берклі я почав бачити паралелі між теорією 3-різноманіть, волокна по колу; ця тема розроблена в 2-х книгах, які з’явилися в “Аннали математики. Дослідження” Прінстон. Медаль Філдс, я вважаю, в знак визнання цих проектів.

Так що я працював над динамікою раціональних відображень, і я працював на гіперболічних 3-різноманіть, і я працював на ріманових поверхнях само по собі, і я також працював на топології поверхонь і вузлів. І річ, яку я хотів би підкреслити, що для мене всі ці поля дійсно той же поле. Ви дуже легко почати працювати над проблемою в динаміці, і знайти себе через кілька місяців працює над проблемою в теорії вузлів або топології, тому що всі вони дуже взаємопов’язані – вузли, комплексний аналіз, многочлени, ріманових поверхонь, гіперболічних 3-різноманіття і т.д. Існує насправді не назва для цієї області, але це поле я працюю в.

Питання: Значить, ви були на, можливо, чотирьох кращих шкіл в Америці з математики: Прінстон, Берклі, MIT і Гарварду. Чи можете ви порівняти і зіставити їх з точки зору атмосфери, дружелюбності, темп люди працюють на і т.д., для магістрантів подумую в аспірантурі?

М: Вони дійсно відрізняються. Дозвольте мені піти з MIT, тому що я тільки провів семестр там. Princeton приголомшливий відділ, але місто трохи душно і нудно для молодої людини. Він має найвищу щільність людей з “Хто є хто”, і це дуже культурний. Там немає нічого несподіваного ніколи не відбувається. Так що це, здається, не дуже живий для мене. Але я не був там в якості аспіранта. Princeton це прекрасне місце, щоб піти, якщо ви знаєте, що ви не збираєтеся бути там назавжди. Я озираюся назад дуже ніжно на мої роки в Прінстоні.

Прінстон і Гарвард, як ставитися до своїх аспірантам дуже добре. Існує гарне ставлення числа студентів на факультеті. Студенти добре фінансуються, відділи досить малі, що студенти отримують багато індивідуальної уваги. І я думаю, що студенти багато один від одного дізнатися в обох місцях. Це велика складова післядипломної освіти.

Берклі також дійсно чудово. Це місце, яке має величезний відділ, сто викладачів, якщо вважати emereti. Я дійсно любила його, але це вимагає багато енергії, щоб знайти гарне місце, щоб жити, щоб знайти хорошого консультанта, а також потрапити в праву нішу, математично і так далі. Але, як ви зробите це, він платить вам назад дуже багато. І погода прекрасна. Ви можете пройти від університетського містечка в Полуничний Каньйон потім в Tilden парк, і бути повністю поза увагою людства протягом 40 хвилин. (У Гарварді, з іншого боку, я виявив, що я міг би велосипед протягом години, і до сих пір знаходиться в передмісті …) У Берклі басейни на відкритому повітрі, це дуже живий, і це також дуже терпимі – до всіх видів різні способи життя, різні люди. Ви відчуваєте, почуття свободи. Ви не відчуваєте напад нудоти про випробувати нову ідею, і не так сильно турбуватися про те чи ні це буде працювати. Одна з великих речей про Берклі, що є так багато аспірантів, і так багато постдокторов в цій області, особливо з MSRI, що ви можете мати робочу групу з будь-якої математичної темі ви можете думати. Там дуже багато там математичний інтерес.

Я дійсно насолоджувався будучи аспірантом в Гарварді теж. Кембридж і Берклі обидва мають переваги перед Прінстоні, в тому сенсі, що вони молоді громади, є багато чого відбувається, вони близькі до великого міста. Ви можете сказати, трохи з мого досвіду випускника, що, хоча я думаю, Harvard дійсно великий, той факт, що його факультет мало може зробити його важко знайти консультанта, який знаходиться в області, яку ви хочете працювати. І я думаю, що реальний ключ до успіху в аспірантурі знаходить щось, що ви зацікавлені в достатній кількості, щоб тримати вас відбувається протягом чотирьох або п’яти років.

Питання: Чому ви вирішили приїхати в Гарвард з Берклі?

М: Я вперше приїхав в якості гостя. І я знайшов, що це дійсно цікаво викладати тут. У Берклі класи для студентів часто дуже великі, і це було просто дуже корисно мати ці дійсно хороші студенти в невеликому класі. І мені дуже сподобався той факт, що відділ досить малий, що його легко дізнатися інших членів професорсько-викладацького складу. І, звичайно ж, так як я був аспірантом тут, я завжди дивився на Гарвард як це чудове місце. Насправді я знайшов, що це важко собі уявити, що професор тут, тому я хотів би вивчити, що це буде схоже. Мені дуже подобається той факт, що мої сфери інтересів відрізняються від, але перекривається, у інших людей у відділі. Я дуже зацікавлений у великій кількості матеріалу роблять інші люди тут. Так що для мене, в певному сенсі, це дозволяє мені продовжити свою освіту.

Питання: Але хіба це не зменшуєте свої можливості для співпраці з іншими членами професорсько-викладацького складу?

М: В першу чергу я їжджу зовсім небагато, так що я бачу людей, які знаходяться в моєму полі у Франції, або в Stonybrook, або в іншому місці. Проте, більшість досліджень робиться самостійно; Я роблю все можливе дослідження самостійно. Його дуже корисно мати можливість запускати аргумент експертом в цій області, але я не дуже сумую хтось, хто знаходиться саме в моїй області, щоб співпрацювати з. Я повинен визнати, що це було важке рішення приїхати сюди. Я сумую живе в Берклі, і я можу провести відпустку там.

Питання: Ви бачите себе в якості ренесансу математики в тому сенсі, що ваша робота охоплює широкий спектр областей математики чи що?

M (сміється): Ні, я бачу себе скоріше як дилетанта, хтось бавиться в багатьох різних областях і зацікавлений у багатьох різних речей; Я, звичайно, не сказати ренесансу математик. Тепер, я дійсно насолоджуюся багато різних видів математики, і мені подобається працювати над чимось я не експерт в області і дізнатися про те предметі. Це поле я описував це дійсно чудово, що шлях, тому що його настільки широкий, що він вступає в контакт з багатьма різними типами математики. Коли я приїхав до Гарварду, я виявив, що для багатьох теорії (такі як теорія Ходжа на комплексних многовидах і т.д.), я не дуже розумію це, і я не був дуже мотивований, щоб вивчити його. Так що я почав з темою я міг би дізнатися дійсно добре: однієї дійсної змінної.

Я пройшов курс навчання в режимі реального аналізу, коли я був студентом; Я пішов в Стенфорд, протягом року і взяв великий курс реальний аналіз від Benjamin Weiss, який був запрошений професор з Єрусалиму. І це дійсно мене схвилювало аналізу. Потім я повернувся в Williams, і я працював в тісній співпраці з Біллом Олівер. Він був дуже впливовим в моєму математичній освіті; саме від нього я вперше дізнався цю ідею використання словників в математиці, щоб використовувати в якості свого роду аналогії між різними полями або різними теоретичними розробками, щоб спробувати вести свою роботу. Так що це були мої ранні впливу.

Коли я приїхав до Гарварду, і я був свого роду метань. Я знав, як до комп’ютерної програми – я працював в літо на IBM-Уотсона в Йорктаун Хайтс – і Мандельброта і Mumford майже співпрацюють; Мандельброт меблів доступ до комп’ютерів в Йорктаун Хайтс до Мамфорд, який малював ці красиві фотографії граничних множин клейнових груп. Як хтось, хто був знайомий з комп’ютерним світом в Йорктаун, я почав працювати на нього, як його комп’ютерним програмістом, допомагаючи йому зробити ці знімки і так далі. Ви повинні уявити собі, в ті дні, ми повинні були зробити модем виклик міжміський, а потім працювати на 30 символу в написанні програм другого терміналу в FORTRAN. Тоді ми б намалювати картину, і нам довелося б чекати тиждень, для них, щоб відправити його до нас з Йорктаун, щоб побачити, якщо він вийшов прямо.

Тоді я зацікавився Гаусдорфів, і так як я знав, що якийсь реальний аналіз, я намагався працювати над цим. Моя перша робота була коли-небудь про проблему я дізнався, коли я вперше познайомився з професором Хіронака, який був професором Гарварду в той час, хоча він був у відпустці в Японії. Коли він вперше повернувся з Японії, він сказав мені це питання, який він не міг вирішити, який мав вирахувати фрактальную розмірність певного набору. Цей набір виходить малюючи букву «М» і повторюючи ту саму фігуру, як показано тут.

Зрештою, ви отримаєте набір з не самоподібна, але це самоаффінная. Фрактали, розміри яких легко обчислити мають властивість, що якщо взяти невеликий шматочок і повторно масштабувати його на той же фактор в обох вимірах, це схоже на більший шматок. Це одне має властивість, що дуже мало зазор може бути порівнянна з великим відривом, але ви повинні масштабувати ступінь двох в одному напрямку і з допомогою сили трьох в інший; через розмірності, що це складно обчислити. У моїй першій наукової роботи, я обчислений це вимір: D = log2 (1 + 2log3 2). Це була чудова проблема; Я працював над цим дуже важко. Ви можете бачити, що мені сподобалося, щоб залишитися близько до землі математики я дійсно зрозумів.

Потім я почав отримувати більше зацікавлені в складній динаміці, тому я пішов до однієї комплексної змінної від однієї дійсної змінної; Я завжди залишався близько до речі, які я міг би дійсно зрозуміти. Так що тепер, через дванадцять років після мого Ph D., я, нарешті, пишу папір, яка має відношення до келеровом геометрії. і я, звичайно, не відчував себе комфортно з келерових метрик, коли я навчався в аспірантурі. Я повинен був не тільки працювати до теми, а й побачити внутрішню мотивацію для отримання до них, а не мати їх сіла в “добре це те, що ми збираємося, щоб дізнатися наступний” -manner.

Питання: Яка була “словник аналогія”, що ви говорили?

М: Моє найбільше математичне вплив був мій науковий керівник, Денніс Салліван. Він був не тільки моя теза радник, але коли він був ще в IHES у Франції, ми б провести пару місяців разом щоліта там, і я пішов би в його семінарі з Нью-Йорка або Прінстоні. Він професор в Стоні Брук, штат Нью-Йорк, і я намагаюся побувати там приблизно раз на рік.

Салліван винайшов гарний словник між раціональними картами і клейнових груп. Раціональне відображення є відображення сфери Рімана до себе задається відносини двох многочленів; наприклад х2 + С, де многочлен в знаменнику 1. Цікава річ для вивчення є ітерація цих карт. Якщо у вас є компактне гіперболічне 3-різноманіття, його універсальне накриття виявляється твердий (відкритий) 3-куля. Фактор 3-кулі під дією фундаментальної групи вихідного різноманіття є різноманіття знову. 3-куля може бути компактифицированного шляхом додавання його межі в R3, а саме сферу S2. Дія групи на 3-куля простягається до кордону S2 як перетворень Мебіуса (тобто карти виду (аз + Ь) / (CZ + D)). Це називається клейнова група. Зверніть увагу на те, що ми почали з розгляду 3-мірне різноманіття, і ми закінчили з динамічної системи на сфері. Це, як пов’язані ці два предмети. Є багато теорем робить цей зв’язок явною. Я написав оглядову статтю ( “Класифікація конформних динамічних систем”) для конференції Яу, який виклав не тільки цей словник, але науково-дослідницьку програму для доказу результатів, заснованих на ньому. Розуміння і розвиток цього словника був великою мотивацією в моїй роботі. Наприклад, один великий пробіл в словнику повернути назад процес, який я описав – якщо задана динамічна система на сфері, ніхто не знає, як знайти тривимірний об’єкт, пов’язаний з ним. Існує багато залишилося зробити в цій захоплюючій області!

Питання: Де ви зберігаєте медаль у своїй області? Чи підтримуєте ви його у себе вдома?

M (сміється): Я не можу розкривати цю інформацію!

Питання: Яка була ситуація, коли ви виграли медаль Філда? Як це відчувати?

М: Моя перша реакція була одним з повного подиву; Я був дійсно вражений. Я насправді думав, що я не був кваліфікований, з точки зору віку. Я також знав, що так багато чудових математиків тут, і в Берклі, і в інших місцях, що я не міг повірити, що я був обраний. Крім того, в 1991 році я виграв премію Салема, який є приз в аналізі; Я був радий визнати, що шлях, тому що я дійсно люблю поле – це був мій перший, як математик. Насправді, я написав свою другорядну дисертацію в якості аспіранта за номерами Салем, і цей приз на честь Рафаеля Салема, тому він має особисте значення для мене. Я ніколи не очікував отримати будь-якого визнання такого роду, так що я, звичайно, відчував, що я вже мав свою частку визнання. (Я був настільки ж здивований, що я отримав пропозицію від Гарварда. Знову ж таки, я не знаю, що сказати)

Це наводить на думку вислів про Берс, який був одним з моїх наставників; він сказав: “Математика це те, що ми робимо для буркітливе захоплення декількох близьких друзів.” Я думаю, що це хороший опис математики; Ви не очікуєте більше, ніж це, тому що задоволення математики дійсно особиста річ. Так що я відчуваю себе дуже пощастило, що були обрані для визнання медалі комітету Fields.

Одна з чудових речей про математику є те, що громада досить мала. Коли я приїхав до Берліна, щоб отримати цей приз, багато людей, яких я добре знав протягом багатьох років були присутні – чудове міжнародне співтовариство моїх друзів. Це було дійсно хороша річ.

Питання: Як ви були в змозі утримувати ваше хвилювання?

М: Ну, що сталося, я був настільки приголомшений, що я швидко забув про це, тому що я дійсно не міг повірити в це. А потім кожен раз в той час, я запам’ятав. І я думаю, що насправді не може бути правдою (сміється), і, звичайно ж, я не мав би ніякого способу перевірити, так як це повинно було бути секретом.

Питання: Чи є що-небудь ще ви хотіли б поділитися з нами про медалі?

Насправді, у мене є розповідь про те, коли я повертався з Берліна. Охоронець в аеропорту працює металодетектор зупинив мене, коли мій рюкзак пішов через машину. Вона сказала: «Вибачте, що у вас у вашому рюкзаку тут?” Я сказав: “Це золота медаль.” Вона сказала, трохи нерішуче, “Ммм хмм.” Так що я взяв його з моєї зграї. Трохи засмучений, вона сказала: “О, дуже добре, це твій?” Я сказав: “Ммм хмм!