19.05.2016

Нільпотенсія і Періодичність в Стабільній Гомотопічній Теорії

Original: http://www.math.rochester.edu/people/faculty/doug/nilp.html

також відома як помаранчева книга.

Нільпотенсія  і періодичність в стабільній гомотопній теорії (Хроніки математичних досліджень, номер 128), Прінстон, Нью-Джерсі, 1992, XIV + 209 стр., $ 24,95. ISBN 0-691-02572-X. Він знаходиться у пресі, і ви можете замовити його через Amazon книги в м’якій обкладинці або палітурці.

Станом на березень 2015 року, він також доступний для скачування тут .

Ось опис Amazon з нього:

Нільпотенсія  і періодичність в стабільній теорії гомотопій описує деякі основні успіхи, досягнуті в алгебраїчній топології в останні роки, центрування на Нільпотенсія  і періодичності теорем, які були передбачуваними автором в 1977 році і доведена Девінатца, Хопкінс, і Сміт в 1985 році під час останнього десять років ряд значних досягнень були зроблені в теорії гомотопий, і ця книга заповнює реальну потребу в останню дату тексту по цій темі. Перші кілька глав Ревенел написані з загальної математичної аудиторії на увазі. Вони обидва обстеження ідеї, які призводять до теорем та їх застосування до теорії гомотопий. Книга починається з деякими елементарними поняттями теорії гомотопий, які необхідні сформулювати завдання. Це включає в себе такі поняття, як гомотопних, гомотопічні еквівалентність, CW-комплекс, і підвіска. Далі апарату комплексних кобордізмов, Морави К-теорії і формальних групових законів в характеристиці р введені. Остання частина книги містить фахівців з послідовною і більш суворого обліку доказів. Вона включає в себе досі не публікувалися матеріали про розбивали продукту і хроматичних теорем збіжності та на модулярних уявлень симетричної групи.

Він був розглянутий Пітером Ландвебером в AMS Bulletin в 1994 році (є в наявності dvi, pdf, і формат ps), а Н. І. Куна в оглядах AMS Math Reviews в 1994 році (також доступний в dvi, pdf, і ps).

У мене є список друкарських помилок, які ви можете завантажити у вигляді файлу в форматі pdf file; Дивись також записку по теоремі товстої вкладену категорію (спільно з А. Жаннере і П. С. Ландвебером). Якщо ви знайшли додаткові помилок, будь ласка, напишіть мені їх на doug@math.rochester.edu.

_________________________________________________________________________________

Огляд Куна:
теорія стабільних гомотопічних найбільш традиційно відноситься до себе з вивченням груп $ \ {Y, Z \} $, група гомотопічних класів стабільних відображень між просторами $ Y $ і $ Z $, зокрема, коли $ Y $ і $ Z $ є кінцеві клітинні комплекси. Дозволити $ \ {Y, Z \} \ С.Б. п $ позначимо $ \ {\ Sigma \ зр п Y, Z \} $, при фіксованому $ X $, $ \ {X, X \} \ С.Б. * $ стає градуйоване кільце під складом, і можна задати як якісні, так і кількісні питання з приводу цього кільця. Найвідоміший і найбільш вивчений приклад, коли $ X $ є $ S \ SP 0 $, і відповідне кільце позначається $ \ Pi \ зр S \ С.Б. * $. Якісний результат цього кільця є теорема Г. Нішіда від початку 1970-х, що позитивні елементи ступеня є нильпотентна, теорема, доказ якої в кінцевому рахунку залежить від деяких елегантних спостережень про розширених повноважень просторів і спектрів. Два великих дослідження, що ведуть до явної кількісної інформації про $ \ Pi \ зр S \ SB * $ були зроблені Адамса в 1960-і роки: його організацію стабільної гомотопия за допомогою спектральної послідовності Адамса на основі звичайних когомологій, і його використання $ K $ -Теорія і $ K $ -Теорія операції для обчислення $ {\ п.м Im} \, J \ subseteq \ пі \ зр S \ С.Б. * $.

Два дослідження Адамса можуть бути пов’язані один з одним за допомогою заміни класичної спектральної послідовності Адамса спектральної послідовності Адамса-Новикова на основі комплексу бордантность $ M {\ гт U} \ SB * $: за $ {\ гт Im} \, J $ елементи є по суті елементи, виявлені шляхом фільтрації 1. Крім того, на відміну від теореми Нішіда по локалізованого на кожного простого $ P $, деякою нескінченної сімейства елементів в $ {\ гт Im} \, J $ можна побудувати за допомогою ітерації ненільпотентное, позитивна ступінь елемента $ \ альфа \ в \ {М (р), М (р) \} \ С.Б. * $, де $ M (р) $ є мод $ р $ простір Мура.

В якомусь сенсі, історія, розказана в книзі під огляд починається з тим, як один показує, що все ітерації $ \ альфа \ двокрапка \ Sigma \ зр нМ (р) \ М (р) $ мають важливе значення. Один із способів полягає відзначити, що на $ M {\ гт U} \ С.Б. * (М (р)) $, $ \ альфа $ індукує множення на ступінь елемента $ v \ сб 1 \ в М {\ гт U} \ С.Б. * $, то зрозуміло, ненільпотентное. Еквівалентно, і, можливо, більш акуратно, можна помітити, що $ \ $ альфа індукує ізоморфізм ненульовий градуйованою $ K \ SP * $ – модуль $ K \ зр * (М (р)) $.

У 1969 Квилл показав, що дослідження $ M {\ гт U} \ С.Б. * $ була тісно пов’язана з теорією формальних групових законів, предмет, можливо, найбільш глибоко вивчений теоретиками алгебраїчних чисел. Це було розуміння Дж Морави на початку 1970-х років, що слід прийняти цю теорію серйозно організувати інформацію про $ M {\ гт U} \ SB * $ операцій. Зокрема, він побудував для кожного простого $ P $, послідовність періодичних узагальнених теорій гомології (з продуктами) $ K (0) \ зр *, К (1) \ зр *, К (2) \ зр *, \ cdots $ з $ K (0) $ раціональний Ейленберга- Маклейн спектр $ H \ сміливою Q $, $ K (1) $ доданка по модулю $ P $ $ K $ -Теорія, і мають коефіцієнти, за $ п \ GEQ 1 $, $ K (п) \ С.Б. * = \ напівжирний F \ С.Б. р [v \ С.Б. п, v \ С.Б. п \ зр {-1}] $, де $ v \ С.Б. п $ має ступінь $ 2р \ зр п-2 $.

Робота автора і його співробітників Х. Міллер і WS Вільсона в середині 1970-х років показали, що ідеї Морави, сформульовані в термінах “хроматичної фільтрації”, можна було б використовувати для керівництва явні обчислення стабільних гомотопічних груп: це є предметом попередня книга автора [Складні кобордізмов і стабільні гомотопічні групи сфер, Academic Press, Орландо, штат Флорида, 1986; MR 87. Про: 55003]. Проте, в кінці 1970-х років автор, натхненні цими самими ідеями, почали формулювати різні глобальні гіпотези про характер періодичності і Нільпотенсія  в стабільній гомотопічній категорії. Роз’яснено, використовуючи мову локалізації Босфілд, вони були опубліковані в 1984 р автором [Amer. J. Math. 106 (1984), немає. 2, 351–414; MR 85k: 55009].

Як автор ставиться в передмові: “У мене були якісь невиразні уявлення про те, як підійти до гіпотез, але в 1982 році, коли Waldhausen запитав мене, якщо я очікував побачити їх вирішено до кінця століття, я не міг запропонувати йому ніяких гарантій.” Примітно, що всі, крім одного з них були доведені 1 986 (з іншими “телескопа” гіпотеза показали помилковими кілька років по тому, в імовірно типовому випадку), в математичному титанічну силу Е. С. Девінатца, МДж Хопкінс і JH Smith [ Ann. матем. (2) 128 (1988), немає. 2, 207–241; MR 89m: 55009] (і 1992 препринт Хопкінс і Сміт).

Ревенел стверджує в якості цілей своєї книги: “, щоб зробити цей матеріал доступним для загальної математичної аудиторії, і забезпечити алгебраїчні топологи з когерентним і розумно самодостатнього рахунок цього матеріалу”. З цією метою він починає на сторінці 1 з визначення того, що це означає для двох карт гомотопних, а сторінка 6 висловив одну форму теореми Нільпотенсія : якщо $ X $ є кінцевий клітинний комплекс, то $ F \ в \ {X, X \} \ С.Б. * $ нильпотентна тоді і тільки тоді, коли $ MU \ SB * (е) $ нільпотентен. Дві сторінки пізніше, Глава 1 закінчується твердженням теореми періодичності: якщо $ X $ є $ р $ -local кінцевий клітинний комплекс, і $ N $ вибирається найменше, так що наведені гомології $ K (п) \ зр * (X) $ не дорівнює нулю, то існує $ F \ в \ {X, X \} \ SB * $, що $ K (п) \ зр * (е) $ є ізоморфізмом (і $ F $ є унікальним після відповідної ітерації).

Глава 2 включає в себе раніше відомі приклади ненільпотентних самостійних карт, твердження теореми Нішіда, і вводить першу версію хроматичної фільтрації гомотопия.

Глави 3 і 4 містять довідковий матеріал за формальними законами групи і складної бордизм (з додатковою інформацією в Додатку В), а також твердження теореми товстої підкатегорію Хопкінс і Сміта: кожен власний товстий підкатегорію категорії $ р $ -локальні кінцевих клітинні комплекси просто повну підкатегорію $ K (п) \ сб * $ – ациклических комплексів, для деякого $ N $. Тут категорія “товстий” (переклад терміна “epaisse” Габріеля), якщо воно замкнуто щодо корасслоеній і забирається.

Глава 5 містить відрахування товстої теореми підкатегорію з теореми Нільпотенсія , слідуючи аргументів Хопкінса і Сміта, а в главі 6, за підтримки Програми А і С, веде читача через відрахування теореми періодичності. Конструкція Сміта в Додатку С не була доступна раніше в опублікованій формі.

Локалізація Босфілд робить його поява в главі 7, де два раніше неопублікованих теореми, пов’язані з Хопкінсом і автора заявлені. Нехай $ L \ С.Б. п $ позначають локалізацію Босфілд по відношенню до суми теорій $ K (0), \ cdots, К (п) $. Один має теорему розбивали продукту — для всіх $ X $, $ L \ С.Б. ПХ \ Цун Х \ клин L \ С.Б. НСМ \ зр 0 $ — і теорема хроматичної збіжності — для всіх $ P $ – локальна кінцеві клітинні комплекси $ X $, $ X \ Цун {\ гт Holim} \, L \ С.Б. ПХ $. Ескіз докази вони складають в главі 8.

І, нарешті, Девінатца-Хопкінс-Сміт доказ теореми Нільпотенсія  дано в розділі 9.

Це дивно, але в якомусь сенсі дуже доступним, казки про те, що автор розповідає в менш ніж 200 сторінок. Ті, в “загальній математичної аудиторії” Ревенел повинні бути попереджені, однак, що уважний читач знайде сам стикається з широким інструментів, використовуваних в доказах, починаючи від модульної теорії зображень симетричних груп, до Хопфа алгеброїд, до Хопфа інваріантів і Snaith стабільне розщеплення Ω2S2n + 1 (в реінкарнацію розширеного аргументу потужності Нішіда).

About The Author

admin

Comments are closed.