Original: https://math.temple.edu/~reich/Fib/fibo.html
Послідовність Фібоначчі має певний числовий зразок, який виник як відповідь на вправу в першому в історії вищої школи алгебраїчному тексті. Ця модель виявилася цікавою, і її значення виходить далеко за рамки того, що представляв її творець. Вона може бути використана для моделювання або опису дивовижного розмаїття явищ у математиці і науці, мистецтві та природі. Математичні ідеї послідовності Фібоначчі дають нам, наприклад, золотий перетин, спіралі та самоподібні криві, що вже давно цінуються за їх чарівність і красу, але ніхто не може до пуття пояснити, чому вони переплетені так ясно у світі мистецтва та природи.
Історія почалася в Пізі, Італія, 1202 року. Леонардо Пізано Біголло був молодим чоловіком у віці двадцяти років, членом важливої торгової сім’ї Пізи. У своїх подорожах по всьому Близькому Сходу він був зачарований математичними ідеями, які прийшли на захід з Індії через арабські країни. Коли він повернувся в Пізу, він опублікував ці ідеї в книзі з математики під назвою Книга абака, що стала знаковою у Європі. Леонардо, який з тих пір став відомий як Фібоначчі, став найзнаменитішим математиком середньовіччя. Його книга розкривала математичні методи в торгівлі, але зараз згадується, головним чином, через два внески, один, очевидно, важливий у той час, і один, здавалося б, незначний.
Важливо: він доніс до відома Європи індуїстську систему запису чисел. Європейські торговці і вчені все ще чіплялися за використання старих римських цифр; сучасна математика була б неможлива без цієї зміни до індуїстської системи, яку ми називаємо нині “арабське позначення”, оскільки вона прийшла на захід через арабські землі.
Інше: у списку головоломок Фібоначчі ставить таке запитання:
Якщо пару кроликів поміщають в закрите приміщення, скільки кроликів народяться там, якщо ми припустимо, що кожен місяць пара кроликів народжує ще одну пару, і що кролики починають приносити молодняк через два місяці після народження?
Це, мабуть, простеньке запитання має як відповідь певну послідовність чисел, відому нині як послідовність Фібоначчі, одна з найцікавіших за весь час. Вона була заново відкрита в дивовижному розмаїтті форм у галузях математики далеко за межами простої арифметики. Такий метод розвитку обумовив далекосяжні додатки в області математики й інформатики.
Але ще більш захоплюючим є дивна поява чисел Фібоначчі і їх відносних коефіцієнтів, далеких від логічної структури математики: у природі та в мистецтві, у класичних теоріях краси і пропорціях.
Розглянемо найпростіший приклад геометричного зростання – безстатевого розмноження, як у амеби. Кожен організм розпадається на два після інтервалу часу дозрівання, характерного для певного виду. Цей інтервал змінюється випадковим чином, але в межах певного діапазону відповідно до зовнішніх умов, таких як температура, наявність поживних речовин і так далі. Ми можемо уявити собі спрощену модель, у якій, за ідеальних умов, усі амеби розпадаються після періоду зростання.
Так, одна амеба стає двома, дві стають 4, потім 8, 16, 32 і так далі.
Ми отримуємо послідовність подвоєння. Зверніть увагу на рекурсивну формулу:
• An =2An
Це, звичайно, призводить до експоненціального зростання, однієї з характерних картин зростання населення.
Тепер, у ситуації кролика Фібоначчі, є фактор затримки; кожній парі потрібен якийсь час, щоб дозріти. Таким чином, ми припускаємо
• час дозрівання = 1 місяць
• час вагітності = 1 місяць
Якби ви спробували це у вашому дворі, ось що сталося б:
Тепер дозвольте комп’ютеру домалювати кілька ліній:
Тут ми бачимо, що кожна когорта або покоління залишається в рамках наступного, і, крім того, кожна доросла пара вносить пару дитини. Число таких дитячих пар відповідає загальному числу пар в попередньому поколінні. Символічно
• fn = кількість пар під час місяця n
• fn = fn-1 + fn-2
Таким чином, ми маємо рекурентну формулу, де кожне покоління визначається в термінах двох попередніх поколінь. Використовуючи цей підхід, ми можемо послідовно обчислити fn потрібної кількості поколінь.
Так, ця послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,… і рекурсивний спосіб побудови до нескінченності є рішенням головоломки Фібоначчі. Але те, що Фібоначчі не міг передбачити, так це безліч додатків, які ці числа і цей метод уособлюють. Його ідея була більш плодотворною, ніж його кролики. Тільки з точки зору чистої математики – теорії чисел, геометрії і так далі – сфера поширення його ідеї була настільки велика, що цілий професійний журнал був присвячений йому – Фібоначчі щоквартально.
Тепер давайте розглянемо іншу досить природну ситуацію, коли та ж сама послідовність “таємниче” з’являється. Повертайтеся на 350 років до 17-го століття у Франції. Блез Паскаль, молодий француз, учений, який розривається між геометрією і математикою та любов’ю до релігії і теології. В одному зі своїх більш мирських моментів він консультувався з одним професійним гравцем, Шевальє де Мере Антуаном Гомбаадом. Шевальє поставив Паскалю кілька запитань про спектаклі в кістках і картах, а також про правильні поділи частки в незавершеній грі. Відповідь Паскаля винайти абсолютно нову галузь математики, теорії імовірності. Ця теорія виросла за ці роки в життєво важливий інструмент 20-го століття для науки та соціальної науки. Робота Паскаля у великій мірі спирається на набір чисел і тепер називається трикутником Паскаля, як от:
Ця конфігурація має багато цікавих і важливих властивостей:
• Зверніть увагу на ліво-праву симетрію – це його власне дзеркальне відображення.
• Зверніть увагу на те, що в кожному рядку друге число підраховує рядки.
• Зверніть увагу на те, що в кожному рядку, 2-й + 3-й підраховують кількість чисел вище цієї лінії.
Є нескінченні варіації на цю тему.
Далі зверніть увагу на те, що відбувається, коли ми складаємо числа в кожному рядку – ми отримуємо нашу послідовність подвоєння.
Тепер для зручності візуального сприйняття намалюємо трикутник, вирівняний за лівим краєм. Складіть цифри різних діагоналей…
і ми отримуємо 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… послідовність Фібоначчі!
Фібоначчі не міг знати про цей зв’язок між його кроликами і теорією ймовірностей – теорії не існувало ще 400 років по тому.
Що дійсно цікаво про послідовність Фібоначчі, так це те, що його модель зростання якимось таємничим чином відповідає силам стримування зростання великої різноманітності природних динамічних систем. Цілком аналогічно відтворенню кроликів, давайте розглянемо родовід бджоли – так ми дивимося на предків, а не нащадків. У спрощеній репродуктивній моделі самець бджоли вилуплюється з незаплідненого яйця і тому у нього є тільки один з батьків, в той час як самка вилуплюється із заплідненої яйцеклітини, і має двох батьків. Ось родовід типової бджоли-самця:
Зверніть увагу на те, що це виглядає як графік кролика, але у зворотному напрямку в часі. Самці предків в кожному поколінні утворюють послідовність Фібоначчі, як це загалом роблять жіночі предки. Ви можете бачити по дереву, що у суспільстві бджіл домінують самки.
Найвідоміші і красиві приклади появи послідовності Фібоначчі в природі зустрічаються в різних квітах і деревах, як правило, пов’язаних із якоюсь спіральною структурою. Наприклад, листя на стеблі квітки або гілки дерева часто росте по спіралі, спіралі галузі, яку нове листя утворює далі. Уявіть: у вас є філія в вашій руці. Зосередьте свою увагу на даному аркуші і почніть відлік навколо і назовні. Порахуйте листя, а також кількість витків навколо гілки, поки не повернетеся в положення, відповідне оригінальному листку, але далі по гілці. Обидва номери будуть числами Фібоначчі.
Наприклад, для грушевого дерева буде число 8 для листя і 3 для витків. Ось ще кілька прикладів:
Галузі сім’ї Фібоначчі
| Дерево | Листочки | Відгалуження |
| В‘яз | 2 | 1 |
| Вишня | 3 | 2 |
| Бук | 3 | 1 |
| Тополя | 5 | 2 |
| Плакуча верба | 8 | 3 |
| Груша | 8 | 3 |
| Мигдаль | 13 | 8 |
Ви можете прогулятися в парку і знайти цю модель на рослинах і кущах досить легко.
Багато квітів пропонують прекрасне підтвердження містики Фібоначчі. Маргаритка має центральне ядро, що складається із крихітних квіточок, розташованих у протилежних спіралей. Як правило, 21 збираються зліва і 34 праворуч. Айстра може мати 13 спіралей зліва і 21 праворуч. Соняшники є найбільш яскравим прикладом, як правило, маючи 55 спіралей в один бік і 89 в інший; або, у кращих сортів, 89 і 144.
Соснові шишки також будуються по спіралі, маленькі мають зазвичай 8 спіралей в одну сторону і 13 в іншу. Найцікавіше, ананас побудований із суміжних шестикутників, три види спіралі з’являються у трьох вимірах. Є 8 вправо, 13 вліво і 21 по вертикалі – у потрійній послідовності Фібоначчі.
Чому це має бути? Чому мати природа знайшла еволюційну перевагу в організації рослинних структур у вигляді спіральних форм послідовності Фібоначчі?
У нас немає чіткої відповіді. У 1875 році математик Візнер представив математичну демонстрацію того, що спіральне розташування листя на гілці в пропорціях Фібоначчі було ефективним способом зібрати максимальну кількість сонячного світла кількома листками – він стверджував, що це кращий спосіб. Але останнім часом ботанік Корнельский з Університет імені Карла Нікласа вирішив перевірити цю гіпотезу у своїй лабораторії; він виявив, що майже будь-яке раціональне розташування листя має таку саму здатність поглинати сонячне світло. Таким чином, ми все ще невпевнені щодо світла.
Але якщо ми розглянемо це питання з точки зору природних моделей зростання, я думаю, ми зможемо почати розуміти наявність спіралей і зв’язок між спіралями і послідовністю Фібоначчі.
Спіралі виникають із властивості зростання, що називається самоподобним масштабуванням – тенденцією до зростання в розмірах, але з підтримкою тієї ж форми. Не всі мікроорганізми ростуть у цій автомодельній манері. Ми бачили, що дорослі люди, наприклад, не просто масштабуються до дітей: діти мають великі голови, короткі ноги і довший торс відносно свого розміру. Але якщо ми подивимося, наприклад, на оболонку патронника кораблика, ми побачимо змінену модель зростання. У міру того як кораблик переростає кожну камеру, він створює нові камери для себе, завжди тієї ж форми – якщо уявити собі дуже довговічні кораблики, їх оболонка утворюватиме спіраль по колу, ставатиме все більше, але завжди виглядатиме однаково на кожному рівні.
Ось де виникає Фібоначчі – ми можемо побудувати скуаріш роду корабликів, починаючи із квадрата розміром 1, і послідовно побудувати нові номери, розміри яких відповідають послідовності Фібоначчі:
Запуск через центри квадратів із гладкою кривою дає нам спіраль наутілуса = соняшника по спіралі.
Це особлива спіраль – автомодельна крива, яка зберігає свою форму на всіх рівнях (якщо уявити, що вийшло з вічності). Вона називається рівнокутною, оскільки радіальна лінія від центру утворює завжди один і той же кут до кривої. Ця крива була відома Архімеду стародавньої Греції, найбільшому геометру давніх часів, і, можливо, всіх часів.
Ми дійсно повинні думати про цю криву як про спіраль всередину назавжди, а також назовні. Це важко зробити; ви можете візуалізувати циркуляцію води навколо крихітного зливного отвору, що наближається, як ці спіралі, до центру, але ніколи не падає всередину. Цей ефект ілюструється іншою класичною загадкою:
Чотири жуки стоять на чотирьох кутах квадрата. Вони голодні (або
самотні) і в той же час кожен із них бачить жука в наступному розі і починає повзти до нього. Що станеться?
Картина розповідає історію, як вони повзуть один до одного по спіралі в центр, завжди утворюючи все меншу площу, повертаючись навколо і навколо. Проте, вони досягають один одного! Це не парадокс, бо довжина цієї спіралі кінцева. Вони простежують ту ж логарифмічну спіраль.
Тепер, оскільки всі ці спіралі самоподібні, вони виглядають однаково в будь-якому масштабі – масштаб не має значення. Важливо, що ці спіралі мають фіксовану частку, визначальну для їх форми. Виявляється, що ця частка така ж, як пропорції послідовних записів Фібоначчі: 5:3, 8:5,13:8 і так далі. Ось розрахунок:
Пропорції Фібоначчі
Як ми йдемо далі в послідовності, пропорції суміжних термінів починають наближатися до фіксованого граничного значення 1.618034… Це дуже відоме співвідношення з довгою і шанованою історією; золота середина Евкліда і Арістотеля, божественна пропорція Леонардо да Вінчі, вважається найкрасивішою і важливою величиною. Це число має більш інтригуючі властивості, ніж ви можете собі уявити.
Шляхом простого розрахунку ми бачимо, що якщо відняти 1 ми отримуємо .618. . який є взаємним. Якщо ми додамо 1, ми отримаємо 2.618… його площу.
Використовуючи традиційну назву для цього числа – грецьку букву f (“фе”), можна записати символічно:
Вирішуючи це квадратне рівняння, отримуємо
Ось деякі інші дивні, але захоплюючі вираження, які можна отримати:
, нескінченний каскад квадратних коренів.
, нескінченний каскад дробів.
Використовуючи цю золоту пропорцію за основу, ми можемо побудувати чітку формулу для чисел Фібоначчі:
Формула для чисел Фібоначчі:
Але греки мали більш візуальну точку зору щодо золотої середини. Вони запитували: який найприродніший і найкраще пропорційно виражений спосіб розділити лінію на 2 частини? Вони назвали це розділом. Греки чітко розуміли, що ідеал повинен відповідати пропорції між частинами і цілим. Це дає точну пропорцію f.
Формування прямокутника з секціями лінії як сторонами надає візуально приємної форми, яка стала основою мистецтва й архітектури. Ця естетична форма була прийнята визначними художниками епохи Відродження в живописі, і вона все ще залишається з нами сьогодні.
Dan Reich (Ден Райх)
Математичний факультет, Університет Темпл
