Original: http://www-users.math.umn.edu/~olver/book_/preface.html

Я сподіваюсь, що цей обсяг виявиться стимулюючою, незвичайною та провокаційною сумішшю математичних ароматів. Як зазначає його назва, книга обертається навколо трьох взаємопов’язаних і особливо родючих тем, кожен з яких виникає в широкому спектрі математичних дисциплін, і кожен з них має велику кількість значних та значних додатків. Еквівалентність визначає, коли два математичні об’єкти однакові при зміні змінних. Симетрії даного об’єкта можна інтерпретувати як групу самоеквівалентності. Умови, що гарантують еквівалентність, найбільш ефективно виражаються в термінах інваріантів, значення яких не змінюються змінами змінних. Проблеми цієї спільності, природно, виникають у всіх областях математики, і, особливо в геометрії, часто лежать в основі суб’єкта. Хоча кожен з цих концепцій має дискретний аналог, наша основна увага буде зосереджена на безперервному. Найважливішими напрямками є аналітичні – диференціальні рівняння, варіаційні задачі, векторні поля та диференційні форми – хоча алгебраїчні об’єкти, такі як поліноми, матриці та квадратичні форми, також відіграють важливу роль. У цій книзі розглядаються доступні методи систематичного та алгоритмічного вирішення завдань симетрії, еквівалентності, класифікації інваріантів та визначення канонічних форм, висвітлюючи, таким чином, багато взаємозв’язків, деякі дивовижні, між окремими проявами цих проблем у вигляді, що не пов’язані ситуації.

Книга, природно, ділиться на чотири взаємопов’язаних частини. Перша, що включає глави 1-3, являє собою алгебро-геометричну основу нашого предмета. Перша глава містить швидкий огляд основних фактів з диференціальної геометрії, включаючи різноманіття, векторні поля та диференційні форми. Глави 2 і 3 можуть, з деякими більш детальними змінами, сформувати базовий курс з груп Лі та теорії уявлень. Основними недоліками є докладна теорія структури груп та алгебри Лі та теорія класифікації неприводимых уявлень, жоден з них не відіграє значної ролі в наших додатках. Друга частина, що включає глави 4-7, забезпечує глибоке вивчення застосувань методів симетрії до диференціальних рівнянь. Почнемо з обговорення просторів струменя, на яких системи диференціальних рівнянь природно реалізуються як геометричні підмножини, і закінчуються обговоренням контактних перетворень. Наступні три розділи стосуються побудови та класифікації диференціальних інваріантів, а потім додатки до диференціальних рівнянь та варіаційних задач. Мій попередній текст може бути використаний для доповнення матеріалу в цій частині з багатьма додатковими додатками. У третьому розділі, розділи 8-12, фокус переходить до проблем еквівалентності та підходу Картана до їх вирішення. Різні можливі гілки, що виникають в методі еквівалентності Картана, детально обговорюються і проілюстровані різноманітними додатками. В остаточних трьох розділах розглядаються необхідні результати теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних та диференціальних систем. Зокрема, ми описуємо докази фундаментальних теорем існування Фробеніуса, Картана та Келеру, що лежать в основі усіх методів.

Слід зазначити, що розташування розділів трохи неприродно з точки зору розвитку. Найбільш фундаментальний матеріал – теореми існування для систем рівнянь в приватних похідних – з’являється в останніх трьох розділах. Геометрія кофамерів частково використовується при аналізі симетрії диференціальних рівнянь, зокрема при побудові диференціальних інваріантів, які використовуються для класифікації рівнянь, що допускають задані групи симетрії. Однак я вирішив провести більш педагогічне впорядкування, щоб не злякати майбутнього читача з надто технічними темами спочатку. Таким чином, книга починається з більш легко перетравлюваних методів з теорії групи Лі, потім переходить до більш складного підходу Картана на основі диференціальних форм і завершує поповнення з жорстким аналізом для десерту. Я сподіваюсь, що більш логічно налаштований читач не буде занадто незручним цим вибором презентації.

В математичній літературі є багато пов’язаних матеріалів, і однією з найважчих завдань було вибір того, які результати та додатки включати, і які з міркувань простору опускати. Наприклад, колись я передбачав набагато більш суттєвий розділ про класичну інваріантну теорію; однак, це, на жаль, треба значно скоротити для остаточної версії. (Я сподіваюсь, що найближчим часом використовувати цей додатковий матеріал як основу вступного тексту про класичну теорію інваріантів та її застосування). Експерти будь-якого з предметів, про які йшлося в книзі, без сумніву, знайдуть багато їх улюблені теоретичні розробки або додатки пропущені або недвозначно коментуються. У багатьох випадках це було необхідним через обмеження простору та необхідність вибору результатів, які були особливо репрезентативними, цікавими та/або міждисциплінарними. Я сподіваюся, що упущення не перешкодить кожен насолоджуватися тим, що я нарешті вирішив включити.

Для ясності, я прийняв досить неформальний, дискурсивний стиль, щоб представити методи, з надією, що це призведе до нового розуміння їх корисності та ефективності. Занадто часто в нещодавній літературі ці потужні та конструктивні методи були затьмарені розробленим, теоретичним механізмом, який багато хто вирішив “з ними” “згладити”. На мій погляд, у практичній сфері це лише допомагає затуманити основні питання, тим самим втручаючись в безпосереднє розуміння учня. Моя власна презентація залежить, в кінцевому підсумку, від оригінальних джерел, зокрема Лі та Картана, які я щиро рекомендую справжньому вченому. Як наслідок, результати не завжди викладені в повній загальній сумісності, і іноді деякі чіткі пункти строгості залишаються для читача правильно розібратися. До тих пір, поки вживають належну обережність, такі технічні деталі рідко приведуть в оману у практичних цілях.

Хоча значна частка книги охоплює результати, які добре відомі послідовникам Лі і Картану, сучасна придатність цих методів ілюструється дивовижним числом нових програм. Велика частка розділу 5 по теорії диференціальних інваріантів є новою, і, крім обстеження в матеріалах конференції, не з’явилася в літературі раніше. Деякі з результатів класифікації диференціальних рівнянь та варіаційних завдань, що базуються на симетрії, також є новими, а інші виявляються розсіяними лише в літературі. Застосування диференціальних інваріантів до комп’ютерного бачення є результатом нещодавньої співпраці з Аллен Танненбаум та Гільєрмо Сапіро. Інтеграція рівняння Чазі з використанням подовження та симетрії з’являється у спільній роботі з Пітером Кларксоном. Багато застосувань методу еквівалентності Картана базуються на результатах моєї давньої співпраці з Нікі Камран. Акцент на класифікаційних різноманіттях у вирішенні проблеми еквівалентності для корамів є новим, і має істотну перевагу над традиційним класифікаційним підходом. Результати глобальної еквівалентності та неасоціативних груп Лі описані тут вперше. Застосування класичної теорії інваріантів з’являється у різних контекстах і переформулюється у більш послідовній формі; зокрема, зв’язок з рішенням Картана з проблемою еквівалентності з числення варіацій базується на попередньому документі.

Основними передумовами для книги є численні варіанти числення – зокрема теореми про неявних і зворотних функціях та теорема про дивергенцію – основна тензор та зовнішня алгебра, а також зменшення групової теорії. Результати від елементарної лінійної алгебри та комплексного аналізу, а також теореми про базові існування для звичайних диференціальних рівнянь використовуються без коментарів. Багато стандартних результатів, за відсутності простору, залишаються не підтвердженими, хоча багато посилань надається. Сподівається, що книга стане основою сучасного курсу вищої кваліфікації з проблем симетрії та еквівалентності. Я включив велику кількість вправ, які знаходяться у складності від досить очевидних до досить суттєвих. Наведені посилання на рішення більш складних вправ.

Я сподіваюсь, що ця книга буде служити каталізатором для подальшого розвитку як у теорії, так і в застосуванні цієї захоплюючої та родючої області математики. Я переконаний, що ще багато важливих внесків ще потрібно зробити, і що відданий учень не може не відігравати певної ролі в її прискореній математичній еволюції.