Ван Осс Проекція 600-клітини

26.05.2016

Ван Осс Проекція 600-клітини

Original: http://homepages.wmich.edu/~drichter/vanoss.htm

DR з об’єктом “пре-Ван-Осс” і тіні.

Введення.

Деякі фотографії розповісти все це, а деякі ледь подряпати поверхню. Це один приховує багато, так що вона вписується в останню категорію. Випередити цю довгу тираду, я хочу сказати, що я довгий час вважали, кут π / 15, щоб бути цікавим, і ця модель, ця фотографія, і ця сторінка є спробою викласти той.

Пояснення Фото.

Перш за все, фотографія має мене, Девід А. Ріхтер, старший викладач математики в Західному Університеті Мічигану в Каламазу, штат Мічиган. На фото, я тримаю модель, зроблену з соломки і трубних очищувачів, скріплених повністю за рахунок тертя, ні клею. Цей 3-мірний об’єкт має відображення симетрії в трьох попарно перпендикулярних площинах. Таким чином, група автоморфізмів цього об’єкта ізоморфна прямому добутку трьох копій двох елементів групи, абельовой групи порядку 8. Крім того, об’єкт щільно облягає всередині кулі певного радіуса; вона близька до сферичної. В ідеалі, тінь цього об’єкта має 30-кратний двогранний симетрію. Я використав цю фотографію в якості привітання на мій сайт, тому що, незважаючи на неточність будівництва, ця тінь трюк спрацював, до мого задоволення.

В ідеалі, тінь цього об’єкта не що інше, як проекція Ван Осс про 600-клітини, та ж, яка Х. С. М. Кокстера використовується в якості фронтисписом до його начитаний книги, регулярні багатогранників. Якщо ви багатогранник маніяк, який регулярно і маніакально пори, через “RP”, то ви не можете пропустити це. До 2005 року, я знав про проекції Ван Осс протягом багатьох років, але, присоромлений, як я повинен це визнати, я дізнався про цей об’єкт “пре-Ван-Осс” тільки недавно і з великим впертого і неосвіченого недовірливості.

Дотична до Zome сфері.

В кінці 2005 року, колега Скотт Vorthmann попередив мене, що там може бути 3-мірний об’єкт, що володіє тим властивістю, що вона виступає в проекції Ван Осс в. Я був налаштований скептично, головним чином, тому що я не розумію, що проекція Ван Осс представляє образ ортогональної проекції з R4 до R2. Крім того, що я не знаю, протягом багатьох років було те, що в главі 13 книги Кокстера міститься рецепт для цього об’єкта. Ні я, ні мій невдалий колега не читав (або не зрозумів) цю частину книги Кокстера приблизно до того часу була побудована ця модель.

Скотт відповідає за написання vZome, чудова система програмного забезпечення, яке дозволяє користувачеві будувати Zome подібні моделі на екрані комп’ютера. Він думав, що це може бути можливим, щоб описати це “пре-Ван-Осс” об’єкт, використовуючи координати з Золотого поля Q (√5). Отже, Скотт провів принаймні пару довго дратівливою ночі намагається створити цей об’єкт в vZome, і він прийшов неймовірно близько, перш ніж стелаж проект.

Його модель була vZome з точністю близько 3 знаків після коми, з зображенням на екрані з’являються неймовірно точні. Після деякого аналізу, я повинен був сказати йому, що його модель була наближення, хоча і дуже хороший. Незважаючи на те, що ми не маємо докази все ж, це не представляється можливим описати координати цього зображення 600-клітини, використовуючи тільки золоте поле. Цілком ймовірно, що потрібно використовувати Q (COS & pi; / 15), як описано в RP.

Натхненний його зусиллями і його прекрасної моделі vZome, я ризикував, щоб знайти магічні координати, які б проект на нашу об’єкту попередньо Ван-Осс. Через кілька тижнів зусиль з Maple, я знайшов дуже простий спосіб висловити координати за допомогою косинус я / 15 (зокрема, з використанням 30-х коренів з одиниці). Я думав, що мої формули, щоб бути оригінальним, поки я не прочитав їх в розділі 13.6 RP. Вражаюче, цей розумний чоловік використовував позначення майже ідентичні моїм. Яка суєта!

Маючи свою систему координат підтвердив сам Кокстера, я вирішив побудувати модель нашого об’єкта. Я використовував для перемішування соломинки країв і очищувачів труб, намотаних на дрібні “павуки”, в якості вершин. Незалежно від того чи ні координати його вершин лежать в золотому полі, це пре-Ван-Осс об’єкт явно не-Zomic. Ця модель використовує 23 різних довжин ребер і відносини несумісні з інтересами Zome системи. Більш того, в той час як звичайна Zome model of the 600-cell є проекцією, яка відображає більшість вершин і ребер в 2-1 листуванні, вимагаючи тільки 75 роз’ємів і 384 розпірки, цей об’єкт має властивість, що всі 120 вершин і всі ребра 720 представлена сумлінно. Таким чином, я повинен був скоротити 720 соломинки до 23 різної довжини і виробництво 120 павуків, кожен з 12 ногами. Збірка цих 840 штук правильно беруть участь утомливо маркіруючи кожну з 120 вершин, використовуючи позначення, що обидва Кокстера, і я, здавалося, повірити було доречно. Загальна ручної праці, що беруть участь в цій конструкції пішло близько 20 годин.

Дух Symmetry.

Ми говоримо, що цей об’єкт є прикладом “привид симетрії”, незважаючи на те, що у нас поки немає чіткого математичного визначення цього явища. Група симетрії 600-клітини має елемент порядку 30, і це видно в проекції Ван Осс в. Проте, проекція з R4 до R2, який дає проекцію Ван Осс може бути розкладена в такий спосіб, що проекція на 3-просторі не володіє цим 30-кратної симетрією. Інший улюблений приклад привид симетрії обладнана моделлю Zome з’єднання п’ятнадцяти 16-клітин.

Повинно бути ясно, що ми маємо на увазі під “осі симетрії привид”; ця тінь являє собою ортогональну проекцію, тому зображення проекції має ортогональное доповнення. Попередньо Ван-Осс об’єкт має три різних осей симетрії привид. Примітно, що два з них дають проекцію Ван Осс, в с D (30) симетрії, в той час як інші виходи виступ, який має D (4) симетрії, те ж саме, що квадрата. (4) вісь D перпендикулярна до обох з D (30) осі. За збігом, яке для мене дивна, кут між двома D (30) осі точно так же, як кут між п’ятикутною віссю і тригранної осі ікосаедра. З точки зору Zome, це те ж саме, що і кут між віссю червоною і жовтою осі.