Original: http://math.ucr.edu/home/baez/this.week.html

11 квітня 2012 року

Джон Баез

На цьому тижні я намагаюся щось нове: в тому числі модель клімату, яка працює на вашому веб-браузері!

Це не реалістична модель; ми тільки почали. Але деякі програмісти в команді Азимут проекту зацікавлені в створенні більш таких моделей, особливо Аллан Ерскін (хто зробив цей), Джим Статтард (який допоміг мені змусити його працювати), Глин Еджі і Стаффан Лілейгерен. Це може бути цікавий спосіб для нас, щоб дізнатися і пояснити фізику клімату. З достатньою кількістю цих моделей, ми б весь курс онлайн! Якщо ви хочете допомогти нам, будь ласка сказати привіт.

Аллан буде говорити більше про проблеми програмування пізніше. Але по-перше, велика загадка: як невеликі зміни в орбіті Землі призводять до великих змін в кліматі Землі? Як я вже говорив минулого разу, здається, важко зрозуміти льодовикові цикли останніх декількох мільйонів років, відповідаючи на це.

Чи існують механізми зворотного зв’язку, які можуть ампліфікувати невеликі зміни температури? Так. Ось кілька очевидних з них:

• Зворотний зв’язок водяної пари. Коли стає тепліше, вода випаровується, і повітря стає вологим. Але водяна пара є парниковим газом, який викликає додаткове потепління. І навпаки, коли земля остигає, повітря стає сухішою, так що парниковий ефект стає слабкішим, що має тенденцію охолоджувати речі вниз.
• Зворотний зв’язок альбедо льоду. Сніг і лід відбивають більше світла, ніж рідкі океани або грунт. Коли Земля прогрівається, танення снігу і льоду, так що Земля стає темніше, поглинає більше світла, і, як правило, щоб отримати отримати ще тепліше. І навпаки, коли Земля охолоджується, більше снігу і льоду форма, так що Земля стає світліше, поглинає менше світла, і прагне отримати ще крутіше.
• Зворотний зв’язок розчинності діоксиду вуглецю. Холодна вода може містити більше вуглекислого газу, ніж теплою водою: саме тому відкриття теплий може соди може бути настільки вибухонебезпечна. Так що, коли океани Землі розігріти, вони виділяють вуглекислий газ. Але вуглекислий газ є парниковим газом, який викликає додаткове потепління. І навпаки, коли oceaans остигати, вони поглинають більше двоокису вуглецю, так що парниковий ефект стає слабкішим, що має тенденцію охолоджувати речі вниз.

Звичайно, є і негативні зворотні зв’язки: в іншому випадку клімат буде вкрай нестабільні! Існують також складні зворотні зв’язки, чий загальний ефект важче оцінити:

• Зворотний зв’язок Планка. Більш гарячий світ випромінює більше тепла, яка охолоджує його вниз. Це велика негативний зворотний зв’язок, яка зберігає всі позитивні відгуки від створення Землі шалено гарячої або шалено холодної.
• Зворотний зв’язок хмар. Тепліша Земля має більше хмар, які відбивають більше світла, але і збільшують парниковий ефект.
• Зворотний зв’язок градієнта зміни метеорологічного елемента з висотою. Підвищений парниковий ефект змінює вертикальний профіль температури атмосфери, яка має наслідки своєї власної, але це працює по-іншому у полюсів і поблизу екватора.

Див. тиждень302, щоб отримати докладнішу інформацію про зворотні зв’язки і наскільки великі вони, ймовірно, будуть.

На вершині всіх цих тонкощів, будь запропоноване рішення загадки льодовикових циклів потрібно тримати кілька інших речей на увазі, теж:

1. Дійсно хороша теорія пояснює, чому не тільки у нас є льодовикові цикли в даний час, але чому у нас не було їх раніше. Як я вже пояснював у тиждень317, вони почали близько 5 мільйонів років тому, стало набагато холодніше, близько 2 мільйонів років тому, і перейшли з циклу приблизно 41000 років до циклу приблизно 100000 років складе близько 1 млн років тому.
2. Скажімо, ми пофантазувати колосальні великий механізм позитивний результат впливу який робить велику роботу з підтримки тепла землі, коли тепло і холод, коли холодно. Якщо цей ефект досить сильний, Земля може бути бістабільна: вона матиме два стійких стани, теплий і холодний. На жаль, якщо ефект буде занадто сильним, він не буде легким для Землі, щоб пхати туди і назад між цими двома станами!Класичним прикладом бістабільної системи є автоматичне включення скажімо для електричного світла. Коли світло на ньому залишається включеним; коли світло вимкнений він залишається вимкненим. При натисканні перемикача дуже м’яко, нічого не відбудеться. Але якщо натиснути на нього досить важко, він раптово вискочити з включеного на вимкнений, або навпаки.Якщо ми намагаємося змоделювати льодовикові цикли, використовуючи цю ідею, нам потрібно перемикач, щоб мати досить драматичний ефект, але як і раніше чуйно реагувати на досить ніжний дотик. Для цієї роботи нам потрібно досить позитивного зворотного зв’язку… але не дуже багато.(Ми могли б також спробувати іншу ідею: може бути, Земля тримає себе в своєму крижаному льодовикової стані, або його теплого міжльодовикового стану, використовуючи якийсь механізм, який поступово використовує щось. Потім, коли Земля проходить з цього матеріалу, то, що це, клімат може легко перевернути в інший стан.)
3. Ми завжди повинні пам’ятати, що в хорошому наближенні, загальна кількість сонячного світла, що вражає Землю щороку не змінюється в міру зміни орбіти Землі в так званих “циклах Миланковича”, які, здається, викликають льодовикові періоди. Я пояснив, чому минулого разу. Які зміни не загальна кількість сонячного світла, але щось набагато тонше: кількість сонячного світла на певних широтах в певні пори року! Зокрема, Миланкович стверджував, і більшість вчених вважають, що Земля має тенденцію ставати холодно, коли є трохи сонячного світла удару далеко північні широти влітку.

З цих та інших причин, будь-яке рішення льодовикового періоду головоломки зобов’язаний бути тонким. Замість того, щоб занурюватися прямо в цю складну трясовину, давайте спробуємо щось набагато простіше. Давайте просто думати про те, як ефект альбедо льоду може, теоретично, зробити Землю бістабільною.

Щоб зробити це, давайте подивимося на дуже простій моделі в цій великій поки ще не опублікованої книги:

• Джеральд Р. Норт, Прості моделі глобального клімату.

Це нульвимірна модель балансу енергії, а це означає, що вона включає в себе тільки середня температура Землі, середня сонячна радіація приходить в, а середнє інфрачервоне випромінювання виходить.

Середньою температурою буде T, вимірюване за Цельсієм. Ми будемо вважати, що Земля випромінює потужність квадратний метр, що дорівнює

де A = 218 Вт/м², а B = 1,90 Вт/м² на кожен градус за Цельсієм. Це лінійне наближення береться з супутникових даних на нашій Землі. Насправді, потужність випромінювання зростає швидше, ніж лінійно зі збільшенням температури.

Ми будемо вважати, що Земля поглинає сонячну енергію енергії на квадратний метр, що дорівнює

Ось:

• Q – це середня інсоляція: тобто, кількість сонячної енергії на квадратний метр удару у верхній частині атмосфери Землі, усереднене за місцем і часу року. У реальності Q дорівнює приблизно 341,5 Вт/м². Це одна четверта сонячної постійної величини, тобто сонячної енергії на квадратний метр, що б вдарити панель, що завис у просторі над атмосферою Землі та були звернені прямо на Сонце.Чому чверть? Це хороша геометрія головоломка: ми одного разу працювали над нею на блозі Азимут.
• c(T) – коальбедо: частка сонячної енергії, яка поглинається. Коальбедо залежить від температури; ми повинні сказати, як.

Зважаючи на все вищенаведене, маємо таке:

де C – теплова потужність Землі в джоулях на градус за квадратний метр. Звичайно, це кумедна річ, тому що теплова енергія зберігається не тільки на поверхні, але і в повітрі і/або води, а також деталі сильно варіюються в залежності від того, де ми знаходимося. Але якщо розглядати єдину планету з сухим повітрям і не океан, Північний каже, ми можемо приблизно взяти С, рівну приблизно половині теплоємності при постійному тиску колони сухого повітря над квадратний метр, а саме 5 мільйонів джоулів на градус Цельсія.

Найпростіше зробити, це знайти рівноважні рішення, тобто рішення, в яких dTdt=0, таким чином

Тепер C не має значення! Ми хотіли б вирішити для T в залежності від сонячного випромінювання Q, але це легше вирішити для Q як функції Т:

Щоб йти далі, нам потрібно вгадати деяку формулу для коальбедо c(T). Коальбедо, пам’ятайте, що це частина сонячного світла, яка поглинається, коли воно потрапляє на Землю. Це 1 мінус альбедо, яка представляє собою фракцію, яка отримує відображення. Ось невелика діаграма альбедо:

Якщо переплутати між альбедо і коальбедо, просто пам’ятайте: вугілля має високе коальбедо.

Так як ми намагаємося тримати речі дуже просто право не, а не моделювати природу у всій своїй славної складності, давайте просто скажемо, середнє альбедо Землі становить 0,65, коли дуже холодно, і є багато снігу. Отже, нехай

буде “icy” (льодове) коальбедо, добре для дуже низьких температур. Точно так же, скажімо, середнє альбедо падає до 0,3, коли його дуже жарко, і Земля темніше. Отже, нехай

буде “ice-free” (без льоду) коальбедо, добре для високих температур, коли Земля темніше.

Потім нам потрібна функція температури, який інтерполює між ci та cf. Спробуймо цю:

Якщо ви не шанувальник функції гіперболічного тангенса Тань, це може здатися страшно. Але не лякайтеся!

Функція 12(1+tanh(γT)) це просто функція, яка плавно переходить від 0 при низьких температурах до 1 при високих температурах. Це гарантує, що коальбедо знаходиться поблизу крижаного значення ci при низьких температурах, а також поблизу його вільної від льоду значення cf при високих температурах. Але найцікавіше тут γ, параметр, який говорить, як швидко піднімається coalbedo як Земля стає тепліше. Залежно від цього, ми отримаємо різні ефекти!

Функція c(T) зростає найшвидше при T=0, оскільки ось де tanh(γT) має найбільший нахил. Ми просто пощастило, що в градусах Цельсія T = 0 є точкою плавлення льоду, так що це робить трохи сенсу.

Тепер програмування магії Алана Ерскін в гру вступає! Ви можете рухати повзунок для регулювання параметрів γ до різних значень між 0 і 1:

 

Можна побачити, як коальбедо c(T) змінюється як функція температури T. На цьому графіку температура коливається від -50 °C до 50 °C; графік залежить від того, яке значення γ ви вибираєте за допомогою повзунка:

 

Ось інсоляція Q, потрібна, щоб отримати задану температуру Т від -50 ° C до 50 ° C:

Це найпростіше вирішити для Q з точки зору Т. Але це більш інтуїтивним, щоб перевернути цей графік і побачити, що рівноважні температури T дозволено для даного інсоляції Q від 200 до 500 Вт на квадратний метр:

Вражає те, що коли γ значно зростає, три різні температури сумісні з тим же самим обсягом сонячної радіації! Це означає, що Земля може бути гарячим, холодним або щось проміжне з’єднання, навіть якщо кількість сонячного світла, наїзд фіксується. Проміжний стан нестійкий, виявляється. Тільки гарячі і холодні стану стабільні. Таким чином, ми говоримо, що Земля бістабільна в цій спрощеній моделі.

Бачите, наскільки велике γ має бути для цього бістабільність, щоб загнутися? Воно точно правильне, коли γ=0,05, оскільки тоді ми отримуємо такий графік:

Коли інсоляція становить менш ніж приблизно 385 Вт/м2 є тільки в холодному стані. Коли вона потрапляє 385 Вт/м2, як показано зеленою лінією, раптом є два можливих температур: холодний один і набагато більш гарячого. Коли інсоляція вище, як показано чорною лінією, є три можливих температур: холодний один, і один нестабільний проміжний, і гарячу. І коли інсоляція отримує вище 465 Вт/м2, як показано червоною лінією, є тільки гарячий стан!

Чому проміжний стан нестійкий, коли воно існує? Чому дві інших рівноваги стабільні? Щоб відповісти на ці питання, ми повинні були б повернутися і вивчити вихідне рівняння:

і подивитися, що відбувається, коли ми натискаємо T трохи в сторону від одного зі своїх рівноважних значень. Це дійсно цікаво, але ми не будемо робити це сьогодні. Замість цього давайте зробити деякі висновки з того, що ми тільки що бачили. Є принаймні три моралі: математична моральна, наука модель клімату, і програмне забезпечення морально.

Математично ця модель ілюструє теорію катастроф. Як ми повільно повернути вгору у, ми отримуємо різні криві, що показують, як температура є функцією інсоляції … поки раптом крива не є графіком функції більше: вона стає нескінченно крутий в одній точці! Після цього ми отримуємо бістабільність: