Original: http://primes.utm.edu/notes/faq/one.html
(зі списку Prime Pages “Запитання та відповіді“)
Новий рекорд простих чисел: 274,207,281-1 із 22,338,618 цифрами від Купера, Уолтмена, Куровскі, Блоссера та GIMPS (7 січня 2016 року).
Число “один” набагато більш особливе, ніж просте число! Це пристрій (будівельний блок) із натуральних чисел, отже, однина, що заслуговує на існування власної аксіоми в аксіомах Пеано. Це єдина мультиплікативна тотожність (1·a = a·1 = a для всіх чисел a). Це єдина ідеальна потужність n для всіх позитивних цілих чисел n. Це єдине натуральне число рівно один позитивний дільник. Але це не є простим. Так чому б і ні? Нижче ми наводимо чотири відповіді, кожен з яких більш технічний, ніж його попередник.
Якщо це питання вас цікавить, ви можете подивитися на історію простоти одного, як це описано в наших статтях: “Яке найменше просте число?” [CX2012] та “Історія простоти одиниці: вибір джерел” [CRXK2012]. Ці документи огляд історії поняття простого і числа один. Це може здивувати вас, щоб дізнатися, що протягом більшої частини історії ніхто не був навіть розглянутий ряд (а “джерело числа”), так що, очевидно, не рахується прем’єр. Це, ймовірно, слід додати до цієї сторінки, як іншої причини один не вважається прем’єр: з історії використання.
Насправді, ви б доцільно, щоб прочитати перший з цих двох наукових робіт замість цього короткого сторінки – вони обидва легко доступні в Інтернеті! Зробіть це.
Відповідь перша: за визначенням простого числа!
Визначення наведено нижче.
Ціле число більше за одиницю називається простим числом, якщо його єдииими позитивними дільниками (факторами) є один і власне це число.
Ясно одне, що залишилося, але це не реально відповісти на питання “чому?”
Відповідь друга: через мету простих чисел.
Формальне поняття простих чисел було введено Евклідом у його дослідженні ідеальних чисел (у його “геометричній” класиці Елементи). Евклід хотів дізнатися, коли ціле число n розкладалося на менші цілі числа (нетривіальне розкладання), отже, він був зацікавлений в тих чисел, що не розкладалися. Використовуючи визначення, наведене вище, він довів таке:
Основна теорема арифметики
Кожне ціле позитивне число більше одиниці можна записати однозначно у вигляді добутку простих чисел, з простих множників у творі написаному в порядку неспадання розміру.
Тут ми знаходимо найбільш важливе застосування простих чисел: вони є єдиними будівельними блоками мультипликативной групи цілих чисел. В обговоренні війни ви часто чуємо фразу “розділяй і володарюй». Той же принцип має місце в математиці. Багато з властивостей цілого числа може бути простежено до властивостей його простих дільників, що дозволяє нам розділити цю проблему (в буквальному сенсі) на більш дрібні проблеми. Номер один марний в цьому відношенні, тому що a = 1.a = 1.1.a = … Тобто, подільність один не може надати нам будь-яку інформацію про a.
Відповідь третя: тому що одиниця – єдине ціле.
Не ходіть шкодуючи одного боку, це є частиною важливого класу чисел називають одиниці (або дільники одиниці). Це елементи (числа), які мають мультиплікативний зворотний. Наприклад, в звичайних цілих чисел є дві одиниці {1, -1}. Якщо ми розширюємо нашу сферу компетенції, щоб включити гауссових цілих чисел {a+bi | a, b є цілими числами}, то матимемо чотири одиниці {1, -1, i, –i}. У деяких системах числення існує нескінченно багато одиниць.
Так що насправді був час, що багато людей визначив один, щоб бути простим, але це значення одиниць в сучасній математиці, що змушує нас бути набагато більш обережними з номером один (і з простими числами).
Відповідь четверта: через узагальнене визначення простого числа.
(Див. також технічні примітки у визначенні Словника простих чисел).
Був момент, що багато людей визначив один, щоб бути простим, але це значення одиниць та простих чисел в сучасній математиці, що змушує нас бути набагато більш обережними з номером один (і з простими числами). Коли ми розглядаємо тільки позитивні цілі числа, роль одного в якості одиниці розмита з його роллю в якості посвідчення; Однак, як ми дивимося на інше число кілець (технічний термін для систем, в яких ми можемо додавати, віднімати і множити), ми бачимо, що клас одиниць має принципове значення, і вони повинні бути знайдені перш, ніж ми навіть можемо визначити поняття прем’єр. Наприклад, ось як Боревич і Шафаревич визначити просте число в їх класичному тексті “теорії чисел”:
Елемент p кільця D, не нуль і не одиниця, називається простим числом, якщо не розкладається на дільники p=ab, жоден із яких не є одиницею в D.
Іноді числа з цією властивістю називається нескорочуваними, а потім ім’я прем’єр зарезервовано для тих чисел, які, коли вони ділять продукт ab, мають ділити a чи b (ці класи є однаковими для звичайних цілих чисел – але не завжди в більш загальних системах). Проте, одиниці є необхідними попередниками простих чисел, а один падає в класі одиниць, а не простими числами.
